Математика и технические науки

Из истории развития технических наук

В Х1Х в.  общие вопросы о роли и месте математики в инженерной деятельности обсуждались с точки зрения того,  нужна ли вообще высшая математика инженерам.  В  1870-1880  гг.  многие считали  сложные  математические  расчеты в технике излишними, полагались на изобретательское "чутье". Так, Т.Эдисон, один из крупнейших электротехников того времени, говорил, что лично он не нуждается в математике и может  придумать  гораздо  больше, чем рассчитать. К концу Х1Х в. при формировании системы образования инженеров-электротехников  встал  вопрос  о  том,  какие именно разделы математики, в каком объеме и каким образом следует включать в учебные программы.  В начале ХХ  в. появились специальные курсы высшей математики для инженеров. Однако, еще в 1920-х гг.  в электротехнической литературе наблюдались  попытки  "изложить законы электродинамики без высшей математики, как будто бы какая-либо заслуга заключалась в  том,  чтобы  не пользоваться понятиями линейного интеграла, потока вектора через поверхность и т.д.". В 1930-х гг. общим вопросам связи  техники и математики в связи с постановкой преподавания последней в высших технических учебных заведениях были  посвящены работы академика А.Н.Крылова.

В настоящее время, когда необходимость глубокой математической подготовки инженеров не надо обосновывать,  когда как в содержательном, так и в организационном плане обособилась сфера  технических наук, ставшая объектом философско-методологического анализа, вопрос о значении  математики для  техники трансформировался в проблему математизации технических наук.

Процесс математизации технических наук фиксируется  как феномен при рассмотрении истории технических знаний в той или иной области. Более того, он происходит столь стремительно, что ощущается  каждым инженером и инженерным сообществом в целом в виде проблем повышения квалификации, перестройки учебных программ, связанных с быстрым устареванием и сменой используемого математического аппарата.

С внешней  стороны  математизация  технических наук может быть охарактеризована как последовательное расширение и усложнение применяемых в инженерии математического аппарата и методов. Внутренняя, сущностная сторона математизации технических наук может быть раскрыта на основе исследования функций и роли математики в формировании и функционировании технических теорий и анализа их изменений в процессе развития технических наук. Она имеет специфику, обусловленную особым гносеологическим статусом технических наук.

Если в технических науках  создается, обосновывается  и исследуется  набор методов решения инженерных задач, то главным показателем инженерного искусства является  выбор такого  математического описания и такой точности проводимых решений, которые были бы адекватны поставленной  задаче.  Этот выбор и оценка результатов  решений  должны основываться на понимании допущений, лежащих в их основе, на умении физически интерпретировать сложные формализованные решения. Причем то, что сложные инженерные задачи в их математической части относительно легко  разрешимы  с  помощью современной вычислительной техники, не умаляет, а, напротив, усиливает необходимость глубокого понимания инженером физики явлений, физического содержания математических формул и смысла производимых расчетных  операций.

Более  того, как отмечает известный электротехник В.А.Веников, при имеющем место перерастании технических систем  в  системы кибернетического типа возникают столь сложные инженерные задачи, что, вполне вероятно, математике не удастся сразу находить адекватные техническим аспектам методы исследования и достаточно полные описания систем  и  действующих в  них  возмущений. Именно поэтому для инженера, вынужденного решать такие задачи, не меньшее, а еще большее значение будут иметь физические представления о свойствах системы и понятия о различных подходах к ее проектированию".

Одна из важных функций технических наук обусловлена тем, что в деятельности инженера существенное значение имеют  упрощенные методы расчета. Проблемы их создания являются в значительной мере проблемами технических наук. Последние призваны, в частности, определять разумный компромисс между точностью и сложностью инженерного расчета на  основе  анализа физической сущности рассчитываемого процесса  и характера принимаемых в теоретических основах метода допущений и идеализаций. Математическая строгость выполнения расчетов и тщательность вычислений не гарантируют от значительных расхождений между  полученным результатом и фактическими данными ввиду того, что при теоретическом описании процесса в техническом устройстве  уже  в исходном  пункте делается целый ряд упрощающих допущений и некоторые физические факторы учитываются недостаточно точно.

Несмотря на то, что возрастание сложности исследуемых вопросов приводит к использованию все более сложных  математических методов, к широкому применению вычислительной техники, роль принципа упрощения и  соответствующих методик в технических науках остается незыблемой, так как они позволяют делать наглядными и  достаточно  легко проверяемыми физические представления о работе технических  систем  и результаты их расчета.

Широкое привлечение сложного математического аппарата и решение прикладных задач привело к формированию   научных дисциплин с особым статусом. В 1950-1970-х гг. в развитии технических наук все большую роль стали играть процессы  интеграции и обобщения теоретических результатов, полученных в исследованиях инженерных проблем той или иной техники. Появились общеинженерные теории, методы проектирования, дисциплины. Так, в 1950-х гг. анализ условий генерирования незатухающих  колебаний в радиотехнических установках,  исследование статической и динамической устойчивости энергосистем и ряд других  технических задач потребовали широких теоретических обобщений,  применения в инженерном деле сложного математического аппарата и  методов прикладной  математики. Это привело к возникновению в 1950-х гг. теории колебаний - междисциплинарной теории, нацеленной на физико-математический  анализ  процессов  в конкретных динамических системах любой природы. В теории колебаний разрабатывается совокупность математических моделей, позволяющая выделять и исследовать характерный класс процессов различного происхождения:  в физике, в биологии, в механике, в различных областях техники. В 1950-х гг. приобрела междисциплинарный статус и теория электрических цепей,  первоначально развивающаяся как базовая электротехническая теория.  К этому же  типу  общетехнических  дисциплин  можно отнести теорию подобия, возникшую из задач теплотехники и нашедшую применение в решении проблем химической технологии, электротехнике и других областях инженерной и научной деятельности.

Строение теоретических технических знаний

Каким же образом работают в технических науках с фрагментами физических, математических, инженерных знаний? Какого рода гносеологические связи и  отношения  устанавливаются  между ними в технических теориях,  давая возможность последним функционировать  в  качестве  средств   инженерной   деятельности,обеспечивающих научно обоснованный поиск проектных и конструкторских решений? Другими  словами,  каково  "гносеологическое пространство" исследовательской деятельности в технических науках,  чем оно ограничено и  как  структурировано?  Попытаемся дать его описание на примере электротехники, акцентируя внимание на характере связей теоретических знаний  этой  области  с физическими и математическими знаниями.

Научное исследование электротехнических устройств направлено  на  выработку теоретического описания происходящих в них явлений,  позволяющего получить количественные данные об интересующих  инженера процессах. Оно предполагает математическую постановку и решение исследовательской  задачи.

Остановимся на основных фазах исследовательской процедуры в электротехнике.

Происходящие в электротехническом устройстве разнообразные  процессы (электромагнитные,   тепловые,   механические) обусловлены  его структурно-морфологическими характеристиками, режимом функционирования,  свойствами материалов и в  совокупности  образуют сложное "явление в натуре" или "явление оригинал". Вообще можно сказать, что с точки зрения технической науки любое устройство рассматривается в функции формирующего, заключающего в себе "явление - оригинал" протекание естественных процессов в искусственных условиях.

В технических науках из сложного "явления-оригинала"  выделяются  для  исследования  отдельные  его  стороны  -  "процессы-оригиналы",  дающие достаточную для  изучаемого  вопроса характеристику функционирования технического устройства.  Причем электромагнитные процессы в электротехническом  устройстве - лишь один вид процессов-оригиналов, определяющий и исторически первым освоенный, но не  единственный. Другие  виды  - электромеханические,  тепловые,  механические, электростатические, химические и т.п. Полипредметность исследования электротехнических устройств принципиальна и развертывалась, исторически актуализировалась в определенной последовательности  в ходе их технического совершенствования.

Так, по мере технического прогресса в  электромашиностроении "электрическая машина становилась сложным агрегатом, в котором все большую роль начинали играть тонкие  явления  физики (электромагнитные процессы), механики (прочность и колебания), гидродинамики и термодинамики (охлаждение),  материаловедения, а  также вопросы электромагнитной,  как теперь говорят, "совместимости", собственно электрической машины с энергосистемой и с приводимым рабочим механизмом".

Процессам-оригиналам соответствуют определенные разделы физических (шире - естественно научных знаний).  В рамках технической теории процесс-оригинал мысленно представлен и описывается как "картина физического процесса" (определенной природы) в электротехническом устройстве,  которая изображается  на его  структурно-морфологической  схеме.  Структурно-морфологические изображения устройств "поставляются" техническими  науками   проектировочной   деятельностью,   задачи  которой  непосредственно определяются проблемами  развития  техники. Эта картина  анализируется  на  основе теоретических представлений физики и  рационально упрощается и идеализируется в соответствии с содержанием инженерно-исследовательской задачи и привлеченным математическим аппаратом.  Исходный вид математического  аппарата  задается формой записи физических законов в приложении к процессам-оригиналам. Например, на основании закона  Ома записывается дифференциальное уравнение электродинамического равновесия в цепи.

В научно-технической  методологии отмечается, что такая идеализация может быть выполнена только на основе определенного опыта, уже имеющихся методов расчета и некоторых допущений, для которых подчас требуется дополнительная  экспериментальная проверка. Причем желательно,  чтобы процесс-оригинал в технической теории был описан возможно меньшим числом параметров и возможно более простыми соотношениями. Отказ от второстепенных факторов,  а зачастую от математической строгости решения, упрощает методику исследования,  позволяет "выделить свойства,  являющиеся  главнейшими  при  решении поставленной задачи".

Таким образом, теоретическое исследование (познание)  в технических  науках направлено на построение моделей  процесса-оригинала, позволяющих давать математическое описание и получать численное решение для различных режимов функционирования технического устройства. В связи с этим центральный объект гносеологического анализа – исследовательские процедуры и теоретические схематизации технической науки, позволяющие осуществлять переход  от структурно-морфологических изображений устройств, на которых разъясняется и анализируется картина протекающих в них процессов в свете поставленной инженерной задачи, к  изображению самих процессов, т.е. к математизированной модели процесса-оригинала. Важнейшим моментом такого перехода  является работа с математическими уравнениями исследуемых процессов, компонентам которых приписывается статус существования, что выражается в их содержательной и операциональной интерпретации, закреплении в особом понятии (например, "параметр цепи") и условном графическом изображении.

Так, отправной точкой становления специфических электротехнических теорий послужил  математический  аппарат,  который активно разрабатывался в конце ХIХ-начале ХХ вв.  для описания переменного тока. Исторически основополагающим  шагом в становлении математического аппарата электротехники был переход от дифференциальных уравнений для мгновенных значений  токов и напряжений к геометрическому представлению соотношений в цепи переменного тока посредством векторов. Можно сказать, что основы специфического "электротехнического" мышления были заложены введением векторов и затем расширены  введением  метода симметричных составляющих (1920-1930-е гг.).

Следующим важнейшим вкладом в теоретическую электротехнику  была разработка Ч.П. Штейнмецом метода комплексных величин (символического метода),  рассматриваемого первоначально в качестве приложения алгебры к векторным диаграммам и позволяющего геометрические соотношения на векторных диаграммах выражать аналитически, в виде уравнения, охватывающего все частные случаи конкретной диаграммы.  Практика  составления и работы  с комплексными уравнениями для описания функционирования различных электротехнических  устройств  важнейшим  методологическим следствием имела формирование представления о схемах замещения и метода эквивалентного преобразования электрических цепей.

Можно утверждать,  что к 1920-м гг. в электротехнике сложились такие процедуры теоретического исследования, благодаря которым стал возможным переход от структурно-морфологических изображений различных электротехнических устройств,  на которых  разъясняется и анализируется физическая картина протекающих в них процессов, к изображению этих процессов в электрических схемах замещения.

Схемы замещения являются абстрактными объектами  электротехнической теории. На их основе в 1930-х гг. произошло выделение  фундаментальной электротехнической  теории  -   теории электрических цепей, представляющей в настоящее время высоко математизированный раздел теоретической  электротехники. Этот раздел получил направление развития,  связанное с привлечением новых математических  средств,  совершенствованием способов систематизации,  теоретического обоснования и выведения электротехнических знаний (законов, теоретических моделей, расчетных методов), которое в значительной мере автономно от сферы инженерной практики.

Схемы замещения венчают процесс созревания частных теоретических схем электротехники. Они - некоторая онтология технической теории,  причем "квазионтология",  так как в отличие от естественно научной не претендует на "изображение того, что есть на самом деле"; это не сущностная модель процесса или явления,  а способ его представления в теории.  С помощью  такой электротехнической  "квазионтологии"  (интересно,  что  первое время,  в 1920-х гг., схемы замещения назывались  "фиктивными схемами") закрепляются методики и алгоритмы расчета;  это своеобразный инструмент для построения эффективных расчетных приемов.

Схемы замещения - это и метод в том смысле, что работа с ними  предполагает процедуру сведения к ним картины процессов, происходящих  в  технических  устройствах,  отличающихся   как конструктивным  выполнением (явнополюсные и неявнополюсные роторы у электрических машин,  например), так и режимами работы.

Постепенно вырабатывается "джентельменский  набор"  наиболее употребляемых,  удобных схем замещения,  соответствующих стандартным задачам в практике электротехнических расчетов. Теперь расчетчику не надо выводить схемы замещения каждый раз  заново "от и до",  а надо уметь обоснованно выбрать наиболее подходя щий вариант  из  уже  разработанных,  приведенных в систему, расписанных в учебной, справочной литературе и снабженных итоговыми расчетными уравнениями, формулами и вспомогательным вычислительным аппаратом.

Проблемы численного решения уравнений, описывающих электротехнические  процессы,  составляют специальную область прикладных математических исследований. Имеется целый ряд случаев, когда электротехники стимулировали развитие прикладных математических методов,  их осмысление строгое обоснование тем,  что для  решения  конкретных задач применили ранее не использовавшийся аппарат и методы  вычислений  (Ч.П. Штейнмец  -  символический метод; О. Хенисайд - операторный метод; Г.Крон - тензорный метод).

Концептуальный аппарат математических теорий,результаты прикладных математических исследований оказывают  существенное влияние на трактовку электротехнических проблем и характер теоретического описания исследуемых электротехниками  процессов.

На  основе математических понятий классифицируются типы электротехнических задач  и  теоретические  объекты  электротехники группируются в фундаментальные теоретические схемы.

Так, краеугольное различение линейных и нелинейных цепей проводится по признаку линейности уравнений,  связывающих напряжения и токи в цепи.  Строго говоря, электротехнические устройства являются принципиально нелинейными. Однако, для многих случаев,  интересующих практику,  в теории принимаются допущения, благодаря которым процессы  в  электротехнических устройствах могут быть описаны линейными уравнениями.  Это влечет возможность применения хорошо разработанных в математике методов, их преобразования и решения. Например, линейность уравнений  позволяет  применить к исследованию описываемых ими цепей принцип наложения,  определяемый  способом  решения  математического уравнения и имеющий  важное значение при построении разнообразных методов расчета цепей (эквивалентные преобразования, теорема независимости и т.п.). Нагруженность используемого математического аппарата  электротехническим  содержанием выражается  в соответствующей интерпретации граничных условий, формы и коэффициентов уравнений, а также выражений, получаемых при их решении.

Свойство линейности при теоретическом описании электротехнических  процессов позволяет,  в частности,  рассматривать переходные процессы в цепях как наложение двух режимов: установившегося и собственно переходного (например,  от единичного импульса определенной формы).  Тем самым происходят стандартизация и образование набора не только схем замещения, но и форм протекания электромагнитных процессов, на теоретическом уровне в  совокупности о достаточным приближением моделирующих реальные процессы - оригиналы.

Таким образом, развитый математический аппарат, являющийся средством решения электротехнических  задач,  становится как бы шаблоном, через который смотрят на процессы-оригиналы (соотносясь при этом со стоящими расчетно-проектными  задачами) и которым структурируют электротехническое предметное содержание. Это сущность математизации научной электротехники. Соединение математического аппарата и электротехнического содержания, выражаемое в теоретических схемах и относящихся к ним понятиях, задает теоретический уровень электротехники как науки.

Оборотной стороной  математизации является углубленное изучение картины реальных физических процессов в электротехнических устройствах (процессов-оригиналов), необходимое для понимания  границ применимости тех или иных рациональных упрощений этой картины (идеализаций, теоретических схем) и,  соответственно, того или иного математического аппарата.

Итак, "гносеологическое  пространство" исследовательской деятельности   в   технических   науках   располагается  между плоскостями естественнонаучных теорий, математических теорий и эмпирическим базисом, формируемым сферой проектирования технических устройств определенного типа.  Исследователь - представитель  технической  науки  - работает одновременно с теоретическими схемами физической теории, теоретическими схемами технических теорий и с математическим аппаратом, интерпретированным и на физическом, и на техническом содержании. Теоретизирование  в  этой области характеризуется сознательной исследовательской установкой.  Его практика состоит в поиске и  научном обосновании способов и средств идеализации познавательных задач, возникающих в сфере инженерной деятельности.  Причем эти идеализации строятся таким образом, чтобы был возможен переход от слоев абстрактно-теоретических схем технической науки через соответствующие  им  эмпирические  схемы  исследуемых  взаимодействий (сюда входят методики измерений,  испытаний)  к  их использованию в процедурах расчетно-проектировочной деятельности.